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Tutorial: Pegando um ônibus


### Introdução

Um ônibus é um veículo rodoviário coletivo encontrado nas grandes metrópoles brasileiras, muito utilizado por aqueles que não são tão pobres que queiram economizar R$2 andando cinqüenta minutos a esmo (isto é, pessoas que não são bolsistas do PIBIC), mas não tão ricas que disponham de opções mais confortáveis como o carro próprio, o táxi, o helicóptero e o tapete voador.

Saber pegar um ônibus é, assim, essencial para uma melhor qualidade de vida assim que o caro leitor se formar, for expulso do PIBIC e tiver os indispensáveis R$2 de sobra. Este tutorial apresenta aspectos teóricos e práticos da sofisticada arte urbana de catar o busão.

### Dramatis personae

* **Roleta**: nos ônibus do período _pré-sorvete na testa_, ficava na porta traseira do ônibus. Este arranjo tem vantagens: o cobrador costuma estar tão informado quanto o motorista sobre o trajeto e logo é de tanta assistência quanto aquele, sem atrapalhar o piloto na sua pilotagem; é possível choramingar e saltar num local mais conveniente que os pontos marcados; as conversas entre o cobrador e o motorista se dão através de gritos, informando todos os passageiros sobre o resultado do jogo do bicho esta semana. Atualmente, a roleta foi movida para a frente. Isto se deve à melhor interação dos personagens 2 e 3 no confronto com o personagem 4. _Importante: rodar a roleta = pagar_. Em não rodando a roleta, não pague.

* **Cobrador**: Funcionário cuja função é reter sua nota de 20 reais pelo máximo de tempo possível sem devolver troco, com isso rendendo para a empresa os excelentes juros da SELIC atual.

* **Motorista**: conhecido também pelos nomes carinhosos de “motor”, “piloto” e “chefe”. Detém a autoridade sobre deixar você entrar pela porta dianteira (nos ônibus _pré-sorvete) ou traseira (nos ônibus _pós-sorvete_), não pagando assim a tarifa de rotação-de-roleta. Dependendo da hora da noite, pode ser persuadido a parar fora do ponto, no esforço coletivo da sociedade civil contra a violência urbana.

* **Assaltante**: Personagem cuja principal função é fazê-lo acreditar que tem uma arma. Normalmente, estão atrás da féria da empresa, em poder do cobrador, e só assaltarão os passageiros como cereja no bolo. Estratégias clássicas que ainda funcionam incluem fingir-se dormindo ou desmaiado, ou carregar duas carteiras, uma com duas notas soltas de R$1.

* **Criança chorando**: A razão do declínio&decadência da nossa juventude é que não explicam _nada_ à crianças! Você verá a mãe envergonhada, mandando calar a boca. Aproxime-se da criança, pergunte com calma as razões de seu irritante pranto, e explique a futilidade do exercício vocal, bem como as externalidades negativas de seu protesto sobre os outros passageiros. Crianças são espertas; funciona, eu juro.

### Elementos de teoria da decisão estatística

Um agente neutro ao risco maximiza sua utilidade esperada — isto é, a média das utilidades que pode obter ponderada pelas probabilidades de cada cenário. Num cenário de decidir quanto tempo esperar pelo busão antes de se por a andar ou pegar o primeiro helicóptero a passar convenientemente voando a 10 metros de altura com uma escadinha de corda pendurada, a utilidade provavelmente será associada ao atraso com que se chega ao destino.

Por exemplo, suponha que faltam 20 minutos para um encontro marcado, e o ônibus demora 15 minutos. Suponha também que se ganha 1 real por cada minuto antes da hora e se paga 1 real por cada minuto de atraso. A utilidade é, assim,

U(demora = t) = 5 - t

E a utilidade esperada será

E(demora =t) = P(t) x (5-t)

O que é importante aqui é compreender o papel das probabilidades, visto que a função de utilidade é subjetiva. Se é pouquíssimo provável pegar o ônibus em tempo hábil, mas andar até o destino implica em 2 horas de caminhada morro acima em terreno lamacento, pode ser ainda melhor esperar pelo ônibus.

### Estimando as probabilidades

O cálculo das probabilidades é simplíssimo, mas não inteiramente trivial. Aprenderemos a calcular rapidamente a probabilidade do ônibus chegar em até um dado intervalo de tempo. Este valor pode ser plugado na fórmula de utilidade esperada (média ponderada pelas probabilidades), ou pode ser usada diretamente como guia intuitivo nas decisões.

#### O processo de Poisson

As demonstrações completas deste passo podem ser consultadas no excelente manual de teoria da probabilidade de Barry James, editado pelo [IMPA](http://www.impa.br). Não é caro, e é recomendado a todos os leitores de viés matemático. Como espera-se que o público aqui seja de gente de menos viés matemático, pulamos passos importantes, e vomitamos resultados.

O processo de Poisson tem duas hipóteses-chave. Uma é que a freqüência de chegada dos ônibus por unidade de tempo é constante no período analisado. Isto é consistente com o marco regulatório dos transportes intraurbanos no Rio de Janeiro, que define freqüências para faixas de horário discretas, e provavelmente se repete nas principais capitais do país. A segunda é que o número de chegadas em um dado intervalo de tempo não depende das anteriores, o que também faz sentido — visto que os ônibus não são amarrados por cordinhas.

Definimos como _l_ o número médio de chegadas em uma unidade de tempo (que podemos fazer igual a uma hora, dada a escala dos nossos eventos), e como _t_ o tempo até o qual estamos avaliando a probabilidade. Tirada do chapéu, a fórmula da probabilidade é:

P(0–> t) = 1 - e^-lt

O número _e_ é uma interessante constante matemática que aparece em vários lugares, aproximadamente igual a 2.7818.

Por exemplo, se passa um ônibus em média a cada 5 minutos (ou seja, 12 por hora,como definido pelo marco regulatório) e o tempo de espera cuja probabilidade queremos calcular é 3 minutos (um vigésimo de hora), o parâmetro _-lt_ será igual a 12 x 0,05 = 0,6.

Logo, a probabilidade de esperar três minutos ou menos será P(0–>3) = 1 - e ^-0,6 = 0,45.

#### Tabela prática

Como a maioria dos leitores provavelmente não é particularmente hábil em computar exponenciais de cabeça (_myself_, eu usei a popular linguagem de programação funcional Microsoft Excel para os exemplos e a tabela a seguir), compilamos uma tabela prática de probabilidades para o intervalo de tempo entre ônibus e ônibus (que pode ser obtido ligando para a empresa em questão; o ônibus Gávea-IMPA passa de 20 em 20, em média) e o tempo de espera cuja probabilidade se quer calcular.

	5	10	15	20	25	30	45	60
1	0.18	0.10	0.06	0.05	0.04	0.03	0.02	0.02
2	0.33	0.18	0.12	0.10	0.08	0.06	0.04	0.03
3	0.45	0.26	0.18	0.14	0.11	0.10	0.06	0.05
4	0.55	0.33	0.23	0.18	0.15	0.12	0.09	0.06
5	0.63	0.39	0.28	0.22	0.18	0.15	0.11	0.08
10	0.86	0.63	0.49	0.39	0.33	0.28	0.20	0.15
15	0.95	0.78	0.63	0.53	0.45	0.39	0.28	0.22
20	0.98	0.86	0.74	0.63	0.55	0.49	0.36	0.28
25	0.99	0.92	0.81	0.71	0.63	0.57	0.43	0.34
30	1.00	0.95	0.86	0.78	0.70	0.63	0.49	0.39
35	1.00	0.97	0.90	0.83	0.75	0.69	0.54	0.44
40	1.00	0.98	0.93	0.86	0.80	0.74	0.59	0.49
45	1.00	0.99	0.95	0.89	0.83	0.78	0.63	0.53
50	1.00	0.99	0.96	0.92	0.86	0.81	0.67	0.57
55	1.00	1.00	0.97	0.94	0.89	0.84	0.71	0.60
60	1.00	1.00	0.98	0.95	0.91	0.86	0.74	0.63

### Comentários finais

Nota-se que a probabilidade de que um ônibus que passa de cinco em cinco minutos passe nos próximos cinco minutos não é de 100%. Isto acontece porque o compromisso da companhia de ônibus na verdade é de _12 ônibus por hora_.

Com estas instruções, espera-se melhorar tanto a qualidade de vida do habitante urbano que ganhemos com isso uma bolsa vitalícia para realizar mais pesquisas deltabardélticas.

Boa sorte!

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