Em primeiro lugar, precisamos definir uma métrica. Dado um conjunto A, uma métrica é uma aplicação d: A x A->R que associa um par de elementos do conjunto A a um real. Essa aplicação deve obedecer aos quatro seguintes critérios:
(i) d(x,x) = 0
(ii) d(x,y) > 0 se x ≠ y
(iii) d(x,y) = d(y, x)
(iv) d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)
Em segundo lugar, decretamos que uma seqüência (uma lista numerada de elementos do conjunto, que escreveremos como an = {a1, a2…}) é limitada se existe um r>0 tal que d(x,y) < r para quaisquer x,y pertencentes a X. Adotaremos a partir de agora o símbolo ∀ para “qualquer” e ∈ para “pertencente”.
Em terceiro lugar, decretamos que uma seqüência tem um limite (alerta, alerta, palavras parecidas com significados completamente diferentes) se ∀ ε > 0 existe (o símbolo de “existe” é ∃) n ∈ {1,2,…} tal que n>n0 d(xn, l) < ε.
Em quarto lugar (quatro big teoremas, quatro definições preliminares para eles, não necessariamente em correspondência um-a-um), uma seqüência de reais é chamada de Cauchy se ∀ ε > 0 , ∃ n0 ∈ N = {1,2..} tal que ∀ m, n > n0, |xn - xm| < ε ( onde |x| = x se x é positivo, e |x| = -x se x é negativo) .
Com essas definições, vamos enunciar e provar quatro big teoremas.
Teo 1: toda seqüência convergente (que tem um limite) é limitada.
Seja L esse limite. Tomemos B(L, ε) = { y : d(L,y)<ε }. Fora de B(L, ε) existem no máximo os elementos x1, x2, … , xM. Definimos c = max { ε, d(x1, L), .. d(xno,L)}. Então, {xn, … xn0, xn0+1, …} está todo contido em uma B(L, c).
Teo 2: toda seqüência monotônica (que só cresce ou só decresce) limitada é convergente.
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℘ continues here. }
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